数的概念的发展 -数学教案

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教学目标

　　（1）了解数的概念发展的过程和动力；
　　（2）了解引进虚数单位i的必要性和作用；理解i的性质．
　　（3）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
　　（4）了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想．


教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

　　首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括；然后说明，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位i及其性质，接着，将数的范围扩充到复数，并指出复数后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
①从实际生产需要推进数的发展

　　  自然数  整数有理数  无理数

　　②从解方程的需要推进数的发展

　　 负数  分数 无理数  虚数

（2）重点、难点分析

　　（一）认识数的概念的发展的动力

　　从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。

　　①解决实际问题的需要

　　由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。

　　②解方程的需要。

　　为了使方程  有解，就引进了负数；为了使方程  有解，就要引进分数；为了使方程  有解，就要引进无理数。

　　引进无理数后，我们已经能使方程  永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当  时，方程  在实数范围内无解。为了使方程  （ ）有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。

　　（二）注意数的概念在扩大时要遵循的原则

　　第一，要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集中，方程  无解这一矛盾。

　　第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，特别是它的运算性质。

　　（三）正确确认识数集之间的关系

　　①有理数就是一切形如  的数，其中  ，所以有理数集实际就是分数集．

　　②“循环节不为0的循环小数也都是有理数”．

　　③｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝，｛实数｝=｛小数｝．

　　④自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C之间有如下的包含关系：



2．教法建议

　　（1）注意知识的连续性：数的发展过程是漫长的，每一次发展都来自于生产、生活和计算等需要，所以在教学时要注意使学生认识到数的发展的两个动力．

　　（2）创造良好的课堂气氛：由于本节课要了解扩充实数集的必要性，所以，教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学史，课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、共同交流的气氛。

 

数的概念的发展

教学目的

　　1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，了解虚数产生历史过程；

　　2.理解并掌握虚数单位的定义及性质；

　　3.掌握复数的定义及复数的分类．

教学重点

　　虚数单位的定义、性质及复数的分类．

教学难点

　　虚数单位的性质．

教学过程

　　一、复习引入

　　原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集.

　　为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到有理数集

　　有些量与量之间的比值，如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数，有理数和无理数合并在一起，构成实数集．

　　数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展，数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具．



二、新课教学

(一)虚数的产生

　　我们知道，在实数范围内，解方程  是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决．对于复数  （a、b都是实数）来说，当  时，就是实数；当  时叫虚数，当  时，叫做纯虚数．可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？

　　16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成