海伦公式的证明方法:利用边求三角形面积

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篇一：利用三边求三角形面积的几种方法

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利用三边求三角形面积的几种方法

作者：陈林真

来源：《新课程学习·上》2013年第12期

已知三边长求三角形的面积在解三角形问题中比较常见，本文将常用的几种方法总结如下。

一、根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形

四、利用海伦公式直接求三角形的面积

（作者单位 甘肃省陇西县第二中学）

篇二：求三角形面积——海伦公式

证明：海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)

证明：设边c上的高为 h,则有

√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c

√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)

两边平方，化简得：

2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2

两边平方，化简得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔细化简一下，得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函数证明！

证明：

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔细）化简得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

篇三：海伦公式几种证明方法

教学研究

已知三角形的三个边a、b、c求它的面积S,有公式S?p(p?a)(p?b)(p?c), 其中1

p?(a?b?c)。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这

2个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。

为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。

而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。

一种方法是用解三角形基本的知识解决。

已知三角形的三边为a、b、c，设p?求证：三角形的面积S?证明：由正弦定理S?

2

1

(a?b?c)， 2

p(p?a)(p?b)(p?c).

1112absinC可得S2?a2b2sin2C?a2b（1?cos2C）， 244

a2?b2?c22(a2?b2?c2)2（?cosC?，从而有

2ab4a2b2

22

122（a2?b2?c2）122（a2?b2?c2）S?ab（1??ab?

44a2b24162

?

112

[4a2b2?（a2?b2?c2）]?[(2ab?a2?b2?c2）(2ab?a2?b2?c2）] 161611?[((a?b)2?c2）(c2?(a?b)2)]?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b) 1616

?

(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b)

???2222

(a?b?c)(a?b?

c?2c)(c?a?b?2b)(c?a?b?2a)????

2222

教学研究

?p(p?c)(p?b)(p?a)

即三角形的面积S?

p(p?a)(p?b)(p?c).证毕。

另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。

证明：在三角形?ABC中，

设?,?,?,CB?||?a,CA?||?b,BA?||?c,C为向量,,的夹角，则

??,于是有

2212

. ?（????2?,a?b?a?b?c）

22

2

2

2

C

1 又因为S?|a||b|sinC，cosC?

212222

所以S?|a||b|sinC

4?

121

（1?）||2||2（1?cos2C）?||2||2

44B

A

A

1

?[||2||2?(?)2]

4

于是就有S?

将上述||?a,||?b,代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。

在这里还要强调上面得到的S?

用向量表示，在向量深入学习后，就会1

|?|. 2

发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识—外积，即

(a?b)?|a||b|?(a?b)，从而还有S?

2222

对于向量这个将几何和代数结合的数学工具，现在高中教学中正在不断重视它，希望这里的一个证明可以给大家提供一点关于向量工具的应用。


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