2017高考数学专项提升练习题60:复数的概念及运算

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篇一：高二数学练习题

2

专题1复数的基本概念

复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、复数相等、共轭复数等，成为近年来高考对复数考查的重要对象，准

确理解概念的内涵是解决此类问题的关键．

z1例1 若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为z2

________．

z1a＋2i（a＋2i）（3＋4i）解析：＝＝ z23－4i（3－4i）（3＋4i）

3a＋6i＋4ai－83a－86＋4a＝i. 252525

z18∵3a－8＝0，且6＋4a≠0，∴a＝. z23

8答案：3

?变式训练

1．当实数x为何值时，复数z＝(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数．

解析：(1)当x2＋3x＋2＝0，即(x＋2)(x＋1)＝0，即x＝－2或x＝－1时，z为实数．

(2)当且仅当x2＋3x＋2≠0，即(x＋2)(x＋1)≠0，即x≠－2且x≠－1时，z为虚数．

2?x?＋3x＋2≠0，(3)当且仅当?2即当x＝1时，z为纯虚数． ?x－1＝0，?

专题2复数的相等

求复数相等的问题，要充分利用复数相等的充分条件，把复数问题转化为实数问题，在高考中时有出现．

例2 已知a＋2ii＝b＋i(a，b，c∈R)，其中i为虚数单位，则a

＋b等于( )．

A．－1 B．1 C．2 D．3

解析：a＋2i＝bi－1?a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.

答案：B

点评：注意复数的运算．

?变式训练

22．若a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________． 1－i

2解析：a＋bi＝＝1＋i，∴a＋b＝1＋1＝2. 1－i

答案：2

专题3 复数的几何意义及应用

1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义．复数的几何意义体现了从几何图形的方面研究代数问题的数学思想方法．

2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点z和z1之间的距离．

例3 若i为虚数单位，如图所示的复平面内表示复数表示1＋i

的点是( ) z

A．E B．F C．G D．H

3＋i解析：由图，z＝3＋i，因此＝＝2－i对应点是(2，－1＋i1＋i

1)．

答案：D

?变式训练

13．在复平面内，复数z＝( ) 2＋i

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

?21?12－i21解析：z＝＝－i，∵点?，－在第四象限，∴复5?2＋i555?5z

数z对应的点在第四象限．

答案：D

专题4 复数的代数运算

复数的代数运算是复数这一章的基本内容，也是高考中的必考内容，在高考中要考查复数内容时，一般都是考查复数的代数运算，尤其是复数的乘、除运算．

z2－2z例4 已知复数z＝1－i，则＝( ) z－1

A．2i B．－2i C．2 D．－2

解析：∵z＝1－i，

∴z2－2z＝－2i－2(1－i)＝－2. 又∵z－1＝(1－i)－1＝－i，

z2－2z－22i∴＝2i. z－1－i－1

答案：B

例5 复数i3(1＋i)2＝( )

A．2 B．－2

C．2i D．－2i

解析：i3(1＋i)2＝－i·2i＝2. 答案：A

?变式训练

?a 4．定义运算??b ?c???z i???＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，求z. ???d??1 i?

?z i??解析：由题意知，??1 i?＝i·z－i＝1＋i， ??

1＋2i∴iz＝1＋2i，∴z＝2－i. i

篇二：【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4 复数 文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与

证明、算法、复数 12.4 复数 文

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位) (2)分类：

(3)复数相等：a＋b(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

→22(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|

a＋b(a，b∈R)． 2．复数的几何意义

→

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(

a，b)(a，b∈R)是一一对应法则． 3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，→→→→→→即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x＋x＋1＝0没有解．( × )

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √

)

2

1．(2015·安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________. 答案 3＋i

解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i＝1＋i＋2＝3＋i.

2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝__________. 答案 2－i

解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.

3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________________________． 答案 2＋4i

解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z＝2＋4i.

4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)＝__________. 答案 3－4i

解析 ∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)＝(2－i)＝3－4i.

5．(教材改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________. 答案 2＋i 解析 ∵z∴z＝2＋

i.

4＋3i?4＋3i??1－2i?10－5i

＝＝＝2－i， 1＋2i?1＋2i??1－2i?5

2

2

2

2

题型一 复数的概念

10

例1 (1)设i是虚数单位．若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．

3－i(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若________． (3)若z1＝(m＋m＋1)＋(m＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的____________条件．

答案 (1)3 (2)1 (3)充分不必要

10

解析 (1)z＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，

3－i且z＝a－

10

a＝3. 3－i

2

2

z1z2z1z2

z12＋ai?2＋ai??1＋2i?2－2a4＋az1

(2)由i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其

z21－2i555z2

虚部为1.

??m＋m＋1＝3，(3)由?2

??m＋m－4＝－2，

2

解得m＝－2或m＝1，

所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． 引申探究

1．对本例(1)中的复数z，若|z|＝10，求a的值． 解 若|z|10，则(a－3)＋1＝10， ∴|a－3|＝3，∴a＝0或a＝6.

2．在本例(2)中，若为实数，则a＝________. 答案 －4

2

z1

z2

z14＋a

解析 若为实数，则a＝－4.

z25

思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

(1)若复数z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．

(2)(2014·浙江改编)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)＝2i”的________________条件． 答案 (1)－1 (2)充分不必要

??x－1＝0，

解析 (1)由复数z为纯虚数，得?

??x－1≠0，2

2

2

解得x＝－1.

(2)当a＝b＝1时，(a＋bi)＝(1＋i)＝2i；

??a－b＝0，

当(a＋bi)＝2i时，得?

??ab＝1，

2

2

22

2

解得a＝b＝1或a＝b＝－1，

所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)＝2i”的充分不必要条件． 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算

例2 (1)(2015·湖北改编)i为虚数单位，i的共轭复数为________． (2)(2015·北京改编)复数i(2－i)＝________. 答案 (1)i (2)1＋2i 解析 (1)方法一 i＝i

608

4×152

607

607

4×151＋3

607

2

＝i＝－i，其共轭复数为i.

3

ii1

方法二 i＝i，其共轭复数为i.

iii(2)i(2－i)＝2i－i＝1＋2i. 命题点2 复数的除法运算

?1－i?

例3 (1)(2015·湖南改编)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.

2

2

z

1＋i62＋3i)＝________.

1－i32i答案 (1)－1－i (2)－1＋i

?1－i??1－i?2i解析 (1)由＝1＋i，知z＝1－i.

z1＋i1＋i?1＋i?623i??3＋2i?

(2)原式＝[ 22

2?3?＋?2?＝i＋

6

22

2

6＋2i＋3i－6

1＋i.

5

命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题

例4 (1)(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

(2)(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)(i为虚数单位)，则z的实部为________． 答案 (1)－2 (2)21

解析 (1)(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2. (2)因为z＝(5＋2i)＝25＋20i＋(2i) ＝25＋20i－4＝21＋20i，

2

22

所以z的实部为21. 命题点4 复数的综合运算

例5 (1)(2014·安徽)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·z

i＝________.

(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________． 4

答案 (1)2 (2)

5

解析 (1)∵z＝1＋i，∴z＝1－i，＝ii

z

z1＋i－i2＋i

i

1－i，

∴＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.

i(2)设z＝a＋bi，

故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，

?3b－4a＝0，?所以?

??3a＋4b＝5，

z

4

解得b＝5

思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，

b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．

(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．

z

(1)(2015·山东改编)若复数z满足

________. (2)?

1－i

＝i，其中i为虚数单位，则z＝

?1＋i2 016＝________.

?1－i?

－23＋i?2?2 016?＝________.

1＋23i?1－i?答案 (1)1－i (2)1 (3)1＋i

篇三：2017年高考数学(理)一轮复习精品资料 专题01 集合的概念与运算(押题专练) Word版含解析

专题01 集合的概念与运算（押题专练）

2017年高考数学（理）一轮复习精品资料

1．如下图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(

)

A．(A∩B)∩CC．(A∩B)∩?IC答案 B

解析 在集合B外等价于在?IB内，因此阴影是A，?IB和C的公共部分． 2．满足条件{0，1}∪A＝{0，1}的所有集合A的个数是( ) A．1C．3答案 D

解析 ∵{0，1}∪A＝{0，1}，∴A?{0，1}，故满足条件的集合A的个数为2. 3．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1|，则( ) A．P?Q

B．Q?P

2

B．(A∩?IB)∩C D．?I(B∩A)∩C

B．2 D．4

C．?R P?Q答案 C

D．Q??R P

解析 由题意，得?R P＝{x|x≥1}，画数轴可知，选项A，B，D错，故选C. 4．已知集合A＝{1，3m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( ) A．0或3B．0或3 C．1或3D．1或3

答案 B

解析 ∵A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A， ∴m＝3或mm. ∴m＝3或m＝0或m＝1.

当m＝1时，与集合中元素的互异性不符，故选B.

5．设P＝{y|y＝－x2

＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x

，x∈R}，则( ) A．P?QB．Q?P C．?R P?QD．Q??RP

答案 C

解析 依题意得集合P＝{y|y≤1}，Q＝{y|y>0}， ∴?R P＝{y|y>1}，∴?R P?Q，选C.

6．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝x≤4，x∈Z}，则A∩B＝( A．(0，2)B．

C．{0，2}

D．{0，1，2} )

答案 D

解析 由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}． 7．已知集合M＝{x|(x－1)<4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( ) A．{0，1，2}C．{－1，0，2，3}答案

A

B．{－1，0，1，2} D．{0，1，2，3}

2

8．若集合A＝{x|x－2x－16≤0}，B＝{y|C5≤5}，则A∩B中元素个数为( ) A．1个C．3个答案 D

解析 A＝，B＝{0，1，4，5}，∴A∩B中有4个元素．故选D.

9．若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为( ) A．9C．4答案 C

解析 N＝{(x，y)|－1≤x－2y≤1，x，y∈M}，则N中元素有：(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)．

10．已知集合A＝{1，3，zi}(其中i为虚数单位)，B＝{4}，A∪B＝A，则复数z的共轭复数

2

y

B．2个 D．4个

B．6 D．2


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