函数单调性 -数学教案

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课题：§1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
一、引入课题
1．  观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
 

 
 
 
 
 

1 随x的增大，y的值有什么变化？
2 能否看出函数的最大、最小值？
y
x
1
-1
1
-1
3 函数图象是否具有某种对称性？

2．  画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
       1 从左至右图象上升还是下降 ______?
       2 在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
y
x
1
-1
1
-1
 


2．f(x) = -2x+1
       1 从左至右图象上升还是下降 ______?
       2 在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
y
x
1
-1
1
-1
3．f(x) = x2

       1在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
       2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
       一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
       如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
       3．判断函数单调性的方法步骤
              利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
              1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
              2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P38练习第1、2题
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：
1 课本P38练习第3题；
       2 证明函数 在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数 的图象．
       1 这个函数的定义域是什么？
       2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
四、作业布置
1．  书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
2．  提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
1 求f(0)、f(1)的值；
2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．