高二数学必修五

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篇一：高二数学必修5全套教案(人教版)

1．1．1正弦定理

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，

引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合

情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

一.课题导入

如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。 思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C B 二.讲授新课

[探索研究]

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?ccc

abc则???csinAsinBsinCC abc从而在直角三角形ABC中，??sinAsinBsinC有

思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，（1）当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=asinB?bsinA,则

同理可得

从而asinA?bsinB，csinC??bsinB?， Ac B sinAsinBsinC

（2）当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

abc

???????（证法二）：过点A作单位向量j?AC， 由向量的加法可得 AB?AC?CB

??????????????则 j?AB?j?(AC?CB)

????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB

??????????0jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即?????????ac ??????abcbc同理，过点C作j?BC，可得 从而 ???sinAsinBsinC

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a

sinA?b

sinB?c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，

即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a

sinAsinBsinCsinA

思考：正弦定理的基本作用是什么？ ?b?c等价于a?bsinB，csinC?bsinB，asinA?csinC

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理， ab

C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20；

asinB42.9sin81.80

根据正弦定理， b???80.1(cm)； sin32.00

asinC42.9sin66.20

根据正弦定理， c???74.1(cm). sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

练习：在?ABC中，已知下列条件解三角形。

（1）A?45，C?30，c?10cm， （2）A?60，B?45，c?20cm 例2． 在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

????

bsinA28sin400

sinB???0.8999.因为00＜B＜1800，所以B?640，或0 B?116.

⑴ 当B?640时， C?108?0A(?B0?)10?800?，(4?064asinC20sin760

c???30(cm). sin400

⑵ 当B?1160时，C?108?0A?(B0?)01?8，0?(4?01asinC20sin240

c???13(cm). sin40

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

课堂练习

第4页练习第2题。

思考题：在?ABC中，a

sinAsinB三.课时小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：?b?csinC?k(k>o)，这个k与?ABC有什么关系？ a?b?c?k?k?0?； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0) a?b?c?

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

四.课后作业：P10面1、2题。

1.2解三角形应用举例 第一课时

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

三、教学设想

1、复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、 新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到

0.1m)

提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得 AB=ACsin?ACBsin?ABC

sin?ABC55sin75? = 55sin75? ≈ 65.7(m) sin54?sin(180??51??75?) AB =ACsin?ACB=55sin?ACB= sin?ABC

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得?BCA=?，

? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得AC =

BC = asin(???)= asin(???) sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin?=

sin[180??(?????)]sin(?????)

计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB = AC2?BC2?2AC?BCcos?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

篇二：新人教版高二数学必修5知识点归纳

高二数学期中考知识点归纳资料

第一章 解三角形

1、三角形的性质：

①.A+B+C=?,?

A?B2

?

?

2

?

C2

?sin

A?B2

?cos

C2

②.在?ABC中, a?b＞c , a?b＜c ; A＞B?sinA＞sinB,

A＞B?cosA＜cosB, a ＞b? A＞B

③.若?ABC为锐角?，则A?B＞

?

2

,B+C ＞

?

2

,A+C ＞

?

2

;

a2?b2＞c2，b2?c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①.

(2R为?ABC外接圆的直径)

a?2Rsin

A、b?2RsinB、c?2RsinC sinA?

a2R

、

sinB?

12

b2R

、 sinC?

12

c2R

12

acsinB

2

2

2

面积公式：S?ABC?

2

2

2

absinC?

2

bcsinA?

2

2

②.余弦定理：a?b?c?2bccosA、b?a?c?2accosB、c?a?b?2abcosC

b?c?a

2bc

2

2

2

cosA?、cosB?

a?c

?b

2ac

222

、cosC?

a?b?c

2ab

222

3第二章 数列

1、数列的定义及数列的通项公式：

①. an?f(n)，数列是定义域为N

的函数f(n)，当n依次取1，2，???时的一列函数值② i.归纳法

若S0?0，则an不分段；若S0?0，则an分段

iii. 若an?1?pan?q，则可设an?1?m?p(an?m)解得m,得等比数列?an?m?

?Sn?f(an)

iv. 若Sn?f(an

)，先求a1?得到关于an?1和an的递推关系式

?Sn?1?f(an?1)?Sn?2an?1

例如：Sn?2an?1先求a1，再构造方程组：??（下减上）an?1?2an?1?2an

?Sn?1?2an?1?1

2.等差数列：

① 定义：an?1?an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项d?0时，an为关于n的一次函数；

d＞0时，a

n为单调递增数列；d＜0时，an为单调递减数列。

n(n?1)2

③ 前n?na1?

d，

d?0时，Sn是关于n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质： ii. 若?an?为等差数列，则am，am?k，am?2k，…仍为等差数列。 iii. 若?an?为等差数列，则Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，…仍为等差数列。 iv 若A为a,b的等差中项，则有A

?3.等比数列：① 定义：

an?1an

?q（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

a?b2

。

② 通项时为常数列)。

③.前n项和

需特别注意,公比为字母时要讨论.

④.性质：

ii.?an?为等比数列,则am,am?k,am?2k,?仍为等比数列

，公比为qk。

iii. ?an?为等比数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,K仍为等比数列，公比为qn。 iv.G为a,b的等比中项,G??ab 4.数列求和的常用方法:

①.公式法:如an?2n?3,an?3n?1

nn?1

?2n?5，可分别求出?3n?，?2n?1?和?2n?5?的和，然后把②.分组求和法:如an?3?2

三部分加起来即可。

?1?

③

如an??3n?2????，

?2??1??1??1??1?

Sn?5???7???9???????(3n?1)??

?2??2??2??2?

1

2

3

4

2

3

n?1

n

?1?

??3n?2???

?2?

n

n?1

n

?1??1??1??1??1?

Sn?5???7???9???…＋?3n?1?????3n?2???2?2??2??2??2??2?

1

2

3

n

n?1

?1??1??1??1??1?两式相减得：Sn?5???2???2???????2????3n?2???

2?2??2??2??2??2?

，以下略。

④

如an?

1n?n?1?

1

?

1n

?

1n?1

;an?

1n?1?

n

?n?1?n，

an?

?2n?1??2n?1?

?

1?11?

???等。

2?2n?12n?1?

⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n个数a1,a2,a3,???,an，使这n+2个数成等差数列， 求：Sn?a1?a2?????an，（答案：Sn?

32n）

第三章不等式

1.不等式的性质:

①

a?b,b?c?a?c

a?b?

??a?c?b?d c?d?

②

a?b,c?R?a?c?b?c,推论:

③

a

?b?a?b?a?b?0?

?ac?bc;?ac?bc;????ac?bd?0

c?0?c?0?c?d?0?

④ a?b?0?an?bn?0;a?b?0?2.一元二次不等式及其解法:

a?

b?0

①.ax2?bx?c?0,ax2?bx?c?0,f?x??ax2?bx?c注重三者之间的密切联系。如：ax2?bx?c＞0的解为：?＜x＜?, 则ax2?bx?c＝0的解为x1??,x2??；函数f?x??ax?bx?c的图像开口向下，且与x轴交于点??,0?，??,0?。

2

对于函数f?x??ax2?bx?c，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。 ②.注意二次函数根的分布及其应用.

如：若方程x2?2ax?8?0的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有

f(0)＞0且f(1)＜0且f(4)＜0且f(5)＞0

3.不等式的应用：

①基本不等式：

当a＞0,b＞0且ab是定值时，a+b有最小值； 当a＞0,b＞0且a+b为定值时，

ab有最大值。 ②简单的线性规划:

Ax?By?C?0?A?0?表示直线Ax?By?C?0的右方区域. Ax?By?C?0?A?0?表示直线Ax?By?C?0的左方区域

①.找出所有的线性约束条件。

②.确立目标函数。

③.画可行域，找最优点，得最优解。

需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号，

当A＞0时，越向右移，函数值越大，当A＜0时，越向左移，函数值越大。

篇三：高二数学必修5知识点归纳

● 高二数学期中考知识点归纳资料

第一章 解三角形

1、三角形的性质：

①.A+B+C=?,?

A?B2

?

?

2

?

C2

?sin

A?B2

?cos

C2

②.在?ABC中, a?b＞c , a?b＜c ; A＞B?sinA＞sinB,

A＞B?cosA＜cosB, a ＞b? A＞B

③.若?ABC为锐角?，则A?B＞

?

2

,B+C ＞

?

2

,A+C ＞

?

2

;

a2?b2＞c2，b2?c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①.

(2R为?ABC外接圆的直径)

a?2Rsin

A、b?2RsinB、c?2RsinC sinA?

a2R

、

sinB?

12

b2R

、 sinC?

12

c2R

12

acsinB

2

2

2

面积公式：S?ABC?

2

2

2

absinC?

2

bcsinA?

2

2

②.余弦定理：a?b?c?2bccosA、b?a?c?2accosB、c?a?b?2abcosC

b?c?a

2bc

2

2

2

cosA?、cosB?

a?c

?b

2ac

222

、cosC?

a?b?c

2ab

222

3第二章 数列

1、数列的定义及数列的通项公式：

①. an?f(n)，数列是定义域为N

的函数f(n)，当n依次取1，2，???时的一列函数值② i.归纳法

若S0?0，则an不分段；若S0?0，则an分段

iii. 若an?1?pan?q，则可设an?1?m?p(an?m)解得m,得等比数列?an?m?

?Sn?f(an)

iv. 若Sn?f(an)，先求a

1?得到关于an?1和an的递推关系式

S?f(a)n?1?n?1?Sn?2an?1

例如：Sn?2an?1先求a1，再构造方程组：??（下减上）an?1?2an?1?2an

?Sn?1?2an?1?1

2.等差数列：

① 定义：a

n?1?an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项d?0时，an为关于n的一次函数；

d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，a

n为单调递减数列。

n(n?1)2

③ 前n?na1?

d，

d?0时，Sn是关于n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质： ii. 若?an?为等差数列，则am，am?k，am?2k，…仍为等差数列。 iii. 若?an?为等差数列，则Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，…仍为等差数列。 iv 若A为a,b的等差中项，则有A?3.等比数列：

① 定义：

an?1an

?q（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

a?b2

。

② 通项时为常数列)。

③.前n项和

需特别注意,公比为字母时要讨论.

④.性质：

ii.?an?为等比数列,则am,am?k,am?2k,?仍为等比数列

，公比为qk。

iii. ?an?为等比数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,K仍为等比数列，公比为qn。 iv.G为a,b的等比中项,G??ab 4.数列求和的常用方法:

①.公式法:如an?2n?3,an?3n?1

②.分组求和法:如an?3n?2n?1?2n?5，可分别求出?3n?，?2n?1?和?2n?5?的和，然后把三部分加起来即可。

?1?

③

如an??3n?2????，

?2??1??1??1??1?

Sn?5???7???9???????(3n?1)??

?2??2??2??2?

1

2

3

4

2

3

n?1

n

?1?

??3n?2???

?2?

n

n?1

n

?1??1??1??1??1?

Sn?5???7???9???…＋?3n?1?????3n?2???2?2??2??2??2??2?

1

2

3

n

n?1

?1??1??1??1??1?两式相减得：Sn?5???2???2???????2????3n?2???

2?2??2??2??2??2?

，以下略。

④

如an?

1n?n?1?

1

?

1n

?

1n?1

;an?

1n?1?

n

?n?1?n，

an?

?2n?1??2n?1?

?

1?11?

???等。

2?2n?12n?1?

⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n个数a1,a

2,a3,???,an，使这n+2个数成等差数列， 求：Sn?a1?a2?????an，（答案：Sn?

32n）

第三章不等式

1.不等式的性质:

① a?b,b?c?a?c

②

a?b,c?R?a?c?b?c,推论:

a?b?

??a?c?b?d c?d?

a

?b?a?b?a?b?0?

③

??ac?bc;??ac?bc;??ac?bd?0

c?0?c?0?c?d?0?

④ a?b?0?an?bn?0;a?b?0?2.不等式的应用： ①基本不等式：

a?

b?0

当a＞0,b＞0且ab是定值时，a+b有最小值；

当a＞0,b＞0且a+b为定值时，ab有最大值。


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