大学数学习题一答案

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篇一：大学数学课后习题答案

习题1

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．

3. ?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

4. （1）{0,1,2,3,4} （2）{3,4} （3）{(?1,?1),(0,0),(1,1)}

5. （1）{x|x?2?3,x?Z} （2）{x|x?x?12?0} （3）{(x,y)|y?x,y?x}

6. （1）{1,3} （2）{1,2,3,5} （3）? （4）{1,2,3,4,5,6} （5）{2} （6）?

（7）{4,5,6} （8）{1,3,4,5,6} （9）{1,2,3,4,5,6} （10）{4,6}

7. 23

A?A?B?B?A?(A?B)?B

?((A?A)?(A?B))?B

?(??(A?B))?B

?(A?B)?B

?(A?B)?(B?B)

?(A?B)?U

?A?B

8. （1）(?5,5) （2）(?2,0) （3）(??,?3]?[1,??) （4）(1,2]

（5）[4,??) （6）(??,4)

9. （1）A?B?{1}；A?B?[0,3]；A?B?[0,1)．

（2）A?B?[2,4]；A?B?[?1,4]；A?B?[?1,2)．

10. （1）(,)（2）(,2)?(2,)．

11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同

（4）是．在公共的定义域[?1,1]上，y??x??x?y??x2

12. （1）(??,?2)?(?2,2)?(2,??) （2）(??,?1]?[1,??) （3）(?1,1] 35223252

（4）(??,??)（5）(?2,2)（6）[1,5]

（7）(?

2?2k?,?

2?2(k?1)?)，k?0,?1,?2,? （8）(?2,?1)?(?1,1)?(1,??)

（9）(??,?2)?(3,??) （10）[2,4]

13（1）f(0)?02?3?0?5??5；f(1)?12?3?1?5??1；

f(?1)?(?1)2?3?(?1)?5??7；f(?x)?(?x)2?3?(?x)?5?x2?3x?5； f()?()?3?1

x1x2113?5?2??5． xxx

14. f(x)?f(x?1?1)?(x?1)2?2(x?1)?3?x2?4；

f(x?1)?(x?1)2?4?x2?2x?3． sin(?)??2，f(0)?0?1?1，f(?)???1??． 15. f(?)?2222??2?

x2x2x2?116. ?x?D?(??,??)，有f(x)?1???1??1??2． 2221?x1?x1?x

17. （1）单调递减 （2）(??,2]上单调递增；[2,??)上单调递减 （3）(??,1]单调递减；[1,??)上单调递增 （4）单调递增 （5）(??

2?k?,?

2?k?)（k?0,?1,?2,?）上

单调递增； （6）单调递增

18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数

（6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数

19. （1）对定义域内的任意x，因为F(?x)?

函数；

（2）对定义域内的任意x，因G(?x)?

所以G(x)是偶函数．

20. （1）? （2）2? （3）? （4）2?

21. （1）因为?x?(??,??)，有f(x?2)?f(x)?f(2)成立，令x??1，则有1[f(?x)?f(x)]?F(x)，所以F(x)是偶211[f(?x)?f(x)]??[f(x)?f(?x)]??G(x)，22f(1)?f(?1)?f(2)，又因为f(x)是(??,??)内的奇函数，所以f(?1)??f(1)，所以f(2)?2f(1)?2a，又f(5)?f(3)?f(2)?(f(1)?f(2))?f(2)?f(1)?2f(2)，所以

f(5)?5a．

（2）因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(x?2)?f(x)，又已知

f(x?2)?f(x)?f(2)，所以f(2)?0，由（1）知f(2)?2a，所以a?0．

222. （1）y?arcsinu，u?1?x （2）y?，u?lnv，v?x

w，2（3）y?u，u?2?v，v?cosx （4）y?eu，u?arctanv，v?

w?1?x

23. （1）y?1?x1bx? （2）y?ex?1 （3）y?x?2 （4）y?（x??1） 1?xkk

24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0

2．(1)3 (2)2 (3)0 (4) ?? (5) ?

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

1limn??nn21??? n2limnn??

4. 根据定义证明： 1(1)y?xcos当x?0时为无穷小； x

证明：???0,????,当x??,xcos

(2)y?1?x当x??1时为无穷大. x1?x?? x

证明：?M?0,???M?1,当x??,

5. 求下列极限：

（1）1（2）0

6. 计算下列极限：

（1）0（2）1 2x?111????1?M?1?1?M xxx

（3）2（4）1 2

7. 计算下列极限：

（1）4 （2）?

1（3）2（4） 3

1（5）?（6） 4

（7）-1（8）

?x?1,x?0?x?0，讨论函数在点x?0时的极限情况？ 8. 设f(x)??0,

?x?1,x?0?

解：lim-f(x)??1,lim-f(x)?1,f(0)?0，所以f(x)在x?0不存在极限。 x?0x?0

x2?ax?b?5，求a，b 9. 已知limx?11?x

x2?ax?b?5得解：由已知可知：a?b?1?0,得到a??b?1,代入limx?11?x

x2?(b?1)x?b(x?b)(x?1)lim?lim?1?b?5，得b?6,a??7 x?1x?11?x1?x

10. 计算下列极限：

lim?x?cosx?lim?x?0x12x2（1）x?0?2

tanx?sinx1?cosxx21?lim?lim?（2）lim x?0x?0x2?cosxx?02x2?cosx2x3

tan2x22x2

?lim2?2 （3）lim2x?0x?0xx

（4）limx?02??cosx1?cosxsinx2?lim?lim?x?08 sin2x(2??cosx)sin2xx?022?2sinxcosx

xx?1?11??x?2??（5）lim??lim1????x??x?1x?????x?1??e

1?x?（6）lim??? x??x?1e??

1??3?x??（7）lim???lim?1??x??2?xx??x?2????

?（8）lim?1?x?0?x??2?x?1xxx?(x?2)?21? e?e ?1

2

?x2???e（9）lim?x???x2?1???x

（10）limsinx?sin1cosx?lim?cos1 x?1x?1x?11

1?cosxx2

?lim?0（11）limx?0x?02sinxsinx

lim(1?x)tan?x

2（12）x?1?lim(1?x)x?1?12?lim?xx?1x? cos?sin222sin?x

sin3x?2sinx3? （13）lim2?54?sinxx?2

（14） lim

x?cotxx??

22??1

111????存在极限。 1?21?221?2n

111111?????????提示： 2n2n1?21?2221?2211. 证明：数列xn?

11??112. 求极限limn?2?2???2?。 n??n??n?2?n?n???

提示：n?n11?n?n?1 ?n??????2?2222n??n?n??n?n??n??n?2?

2n

13. 求lim。 n??n!

2n2? 提示：n足够大时n!n

篇二：大学数学习题八答案

习题八

1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x,y)|x≠0};

(2) {(x,y)|1≤x2+y2<4};

(3) {(x,y)|y<x2};

(4) {(x,y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2≤1}.

解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：{(x,y)|x=0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x,y)|1≤x2+y2≤4}， 边界：{(x,y)|x2

+y2

=1}∪{(x,y)| x2

+y2

=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x,y)|y≤x2

}， 边界：{(x,y)| y=x2}.

(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，

边界：{(x,y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2=1}. 2. 已知f(x,y)=x2+y2-xytan

xy

,试求f(tx,ty).

解：f(tx,ty)?(tx)2?(ty)2?tx?tytan

tx2

ty

?tf(x,y).

3. 已知f(u,v,w)?uw?wu?v,试求f(x?y,x?y,xy). 解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x. 4. 求下列各函数的定义域：

(1)z?ln(y2

?2x?

1);

(2)z?

?

(3)z?

ln(1?x?

y)

(4)u?

(5)z?

(6)z?ln(y?x)?

(7)u?arccos

解：(1)D?{(x,y)|y2

?2x?1?0}.

(2)D?{(x,y)|x?y?0,x?y?0}.

(3)D?{(x,y)|4x?y?0,1?x?y?0,x?y?0}.

2

2

2

2

2

(4)D?{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0}. (5)D?{(x,y)|x?0,y?0,x2

?y}. (6)D?{(x,y)|y?x?0,x?0,x2

?y2

?1}. (7)D?{(x,y,z)|x2

?y2

?0,x2

?y2

?z2

?0}.5. 求下列各极限：

y

(1)lim

ln(x?e)x?1 y?0

(3)lim

x?0xy

y?0

(5)lim

sinxyx?0x

; y?0

解：(1)原式

?ln2.(2)原式=+∞. (3)原式

=lim

1x?0??

y?0

4

.

(4)原式

=lim

x?0xy?1?1

?2.

y?0

(5)原式=lim

sinxyx?0xy

?y?1?0?0.

y?0

1

(x2?y2)

2

2(6)原式=lim

y2

x?02

2

2

x?0y?0

(x?y)e

x?y

2

?lim

x?2e

(x2

?y2

)

?0.

y?0

6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续： ?sin(x3?2

2

(1)z??

y3)

?y2

,x?y?0,?x2

??

0,x2

?y2

?0;

(2)lim

1x?0x2

?

y

2

;

y?0

(4)lim

x?0

y?0

2

2

(6)lim

1?cos(x?y)x?0(x2

?y2

.y?0

)e

x2

?y

2

?sin(x3?y3)

,?

(2)z??x3?y3

?0,?

x?y?0,x?y?0;

3

3

33

22

?xy

,?222

(3) (2)z??xy?(x?y)

?0,?

x?y?0,x?y?0;

2

2

22

解：(1)由于0?

sin(x?y)x?y

2

2

33

?

x?yx?y

3

3

332

2

?

sin(x?y)x?y

3

3

33

?(x?y)

sin(x?y)x?y

3

3

33

又lim(x?y)?0，且lim

x?0

y?0

sin(x?y)x?y

3

3

x?0y?0

?lim

sinuu

u?0

?1,

故limz?0?z(0,0).

x?0y?0

故函数在O(0,0)处连续. (2)limz?lim

x?0y?0

sinuu

u?0

?1?z(0,0)?0

故O(0,0)是z的间断点.

(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则

limz?lim

x?x

2

22

2

x?0y?x?0

x?0

x?x?0

?1,

若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则

limz?lim

x(?x)

2

22

2

2

x?0

y??x?0

x?0

x?(?x)?4x

?lim

x

2

2

x?0

x?4

?0

故limz不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.

x?0y?0

7. 指出下列函数在向外间断： (1) f(x,y)=

x?y

3

23

x?y

; (2) f(x,y)=

y?2xy?2x

2

2

2

;

(3) f(x,y)=ln(1－x2－y2);

?x?x2?2ey,

(4)f(x,y)=?y

?

0,?

y?0,y?0.

解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余

点处均连续.

(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.

(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点

处均连续.

(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于O(0,0)时.

limf(x,y)?lim

xx

2

x?0x?0

e

?1

??.

y?x?0

故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数： 22

(1)z=x2

y+

xy

2

; (2)s=

u?vuv;

(3)z=x

ln;

(4)z=lntanxy

;

(5)z=(1+xy)y; (6)u=zxy;

y

(7)u=arctan(x-y)z

; (8)u?xz.

解：(1)

?z?2xy?

1?z2

2x?x

y

2

,

?y

?x?

y

3

.

(2)s?u?

v

?s1uv

u

?u

?v

?

vu

2

,

?s?v

??v

2

?

1u

.

2

(3)?z?x

?lnx2x?

122

2

ln(x?y)?

x

x2

?y

2

,?z?y

?xy?

xy2x2

?y

2

.

(4)?z?

1

?x

?sec

2

xtan

xy?1y?2ycsc2xy

, y

?zx2xx?y

?

1tan

x?sec

2

y

?(?

xy

2

)??y

2

csc

2y

.

y

(5)两边取对数得lnz?yln(1?xy)

故

?z?x

?(1?xy)y

??yln(1?xy)??y

2

x?(1?xy)y

?

1?xy

?y2(1?xy)

y?1

.

?z

y

?y?(1?xy)??yln(1?xy)??y?y?(1?xy)?

ln(1?xy)?yx??1?xy??

?(1?xy)y?

?xy??ln(1?xy)?

1?xy?.?(6)

?u?x?lnz?z

xy

?y

?uxy?1

?y

?lnz?z

xy

?x

?u?z

?xy?z

(7)?uz(x?y)

z?1?x?

11?[(x?y)z]2

?z(x?y)

z?1

?

1?(x?y)

2z

.

?uz(x?y)

z?1

(?1)

?y)

z?1?y?

?1?[(x?y)z]

2

??

z(x1?(x?y)

2z

.

?uz?y)z

?z

?

(x?y)ln(x?y)ln(x?y)1?[(x?y)z

]

2

?

(x1?(x?y)

2z

.

y

(8)

?uz

?1

?x?

yz

x

. ?uy

?y?xzlnx?

1?1y

z

z

xzlnx.

?u

y

y

?xzlnx????y?

yz?z?z2??

??z2xlnx.29.已知u?

xy

2

?ux?y

，求证：x

?x

?y

?u?y

?3u.

2

证明：

?u(x?y)?x2y

2

222xy3

?x?

2xy(x?y)2

?

xy?(x?y)

2

.

?ux2

y2

?2yx3

由对称性知?y

?(x?y)2

.

x

?u?ux2

y2

于是 (x?y)?x

?y?y

?

3(x?y)

2

?3u.

??1?110.设z?e??

?xy??

，求证：x

2

?zz?x

?y

2

??y

?2z.

??1

1?????1?1证明： ?z?e

?xy??

??1??

1

?????xy??

?x

????x2????x2e,

?

由z关于x,y的对称性得

篇三：大学数学课后习题答案-习题1-习题4

习题1

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．

3. ?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

4. （1）{0,1,2,3,4} （2）{3,4} （3）{(?1,?1),(0,0),(1,1)}

5. （1）{x|x?2?3,x?Z} （2）{x|x?x?12?0} （3）{(x,y)|y?x,y?x}

6. （1）{1,3} （2）{1,2,3,5} （3）? （4）{1,2,3,4,5,6} （5）{2} （6）?

（7）{4,5,6} （8）{1,3,4,5,6} （9）{1,2,3,4,5,6} （10）{4,6}

7. 23

A?A?B?B?A?(A?B)?B

?((A?A)?(A?B))?B

?(??(A?B))?B

?(A?B)?B

?(A?B)?(B?B)

?(A?B)?U

?A?B

8. （1）(?5,5) （2）(?2,0) （3）(??,?3]?[1,??) （4）(1,2]

（5）[4,??) （6）(??,4)

9. （1）A?B?{1}；A?B?[0,3]；A?B?[0,1)．

（2）A?B?[2,4]；A?B?[?1,4]；A?B?[?1,2)．

10. （1）(,)（2）(,2)?(2,)．

11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同

（4）是．在公共的定义域[?1,1]上，y??x??x?y??x2

12. （1）(??,?2)?(?2,2)?(2,??) （2）(??,?1]?[1,??) （3）(?1,1] 35223252

（4）(??,??)（5）(?2,2)（6）[1,5]

（7）(?

2?2k?,?

2?2(k?1)?)，k?0,?1,?2,? （8）(?2,?1)?(?1,1)?(1,??)

（9）(??,?2)?(3,??) （10）[2,4]

13（1）f(0)?02?3?0?5??5；f(1)?12?3?1?5??1；

f(?1)?(?1)2?3?(?1)?5??7；f(?x)?(?x)2?3?(?x)?5?x2?3x?5； f()?()?3?1

x1x2113?5?2??5． xxx

14. f(x)?f(x?1?1)?(x?1)2?2(x?1)?3?x2?4；

f(x?1)?(x?1)2?4?x2?2x?3． sin(?)??2，f(0)?0?1?1，f(?)???1??． 15. f(?)?2222??2?

x2x2x2?116. ?x?D?(??,??)，有f(x)?1???1??1??2． 2221?x1?x1?x

17. （1）单调递减 （2）(??,2]上单调递增；[2,??)上单调递减 （3）(??,1]单调递减；[1,??)上单调递增 （4）单调递增 （5）(??

2?k?,?

2?k?)（k?0,?1,?2,?）上

单调递增； （6）单调递增

18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数

（6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数

19. （1）对定义域内的任意x，因为F(?x)?

函数；

（2）对定义域内的任意x，因G(?x)?

所以G(x)是偶函数．

20. （1）? （2）2? （3）? （4）2?

21. （1）因为?x?(??,??)，有f(x?2)?f(x)?f(2)成立，令x??1，则有1[f(?x)?f(x)]?F(x)，所以F(x)是偶211[f(?x)?f(x)]??[f(x)?f(?x)]??G(x)，22f(1)?f(?1)?f(2)，又因为f(x)是(??,??)内的奇函数，所以f(?1)??f(1)，所以f(2)?2f(1)?2a，又f(5)?f(3)?f(2)?(f(1)?f(2))?f(2)?f(1)?2f(2)，所以

f(5)?5a．

（2）因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(x?2)?f(x)，又已知

f(x?2)?f(x)?f(2)，所以f(2)?0，由（1）知f(2)?2a，所以a?0．

222. （1）y?arcsinu，u?1?x （2）y?，u?lnv，v?x

w，2（3）y?u，u?2?v，v?cosx （4）y?eu，u?arctanv，v?

w?1?x

23. （1）y?1?x1bx? （2）y?ex?1 （3）y?x?2 （4）y?（x??1） 1?xkk

24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0

2．(1)3 (2)2 (3)0 (4) ?? (5) ?

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

1limn??nn21??? n2limnn??

4. 根据定义证明： 1(1)y?xcos当x?0时为无穷小； x

证明：???0,????,当x??,xcos

(2)y?1?x当x??1时为无穷大. x1?x?? x

证明：?M?0,???M?1,当x??,

5. 求下列极限：

（1）1（2）0

6. 计算下列极限：

（1）0（2）1 2x?111????1?M?1?1?M xxx

（3）2（4）1 2

7. 计算下列极限：

（1）4 （2）?

1（3）2（4） 3

1（5）?（6） 4

（7）-1（8）

?x?1,x?0?x?0，讨论函数在点x?0时的极限情况？ 8. 设f(x)??0,

?x?1,x?0?

解：lim-f(x)??1,lim-f(x)?1,f(0)?0，所以f(x)在x?0不存在极限。 x?0x?0

x2?ax?b?5，求a，b 9. 已知limx?11?x

x2?ax?b?5得解：由已知可知：a?b?1?0,得到a??b?1,代入limx?11?x

x2?(b?1)x?b(x?b)(x?1)lim?lim?1?b?5，得b?6,a??7 x?1x?11?x1?x

10. 计算下列极限：

lim?x?cosx?lim?x?0x12x2（1）x?0?2

tanx?sinx1?cosxx21?lim?lim?（2）lim x?0x?0x2?cosxx?02x2?cosx2x3

tan2x22x2

?lim2?2 （3）lim2x?0x?0xx

（4）limx?02??cosx1?cosxsinx2?lim?lim?x?08 sin2x(2??cosx)sin2xx?022?2sinxcosx

xx?1?11??x?2??（5）lim??lim1????x??x?1x?????x?1??e

1?x?（6）lim??? x??x?1e??

1??3?x??（7）lim???lim?1??x??2?xx??x?2????

?（8）lim?1?x?0?x??2?x?1xxx?(x?2)?21? e?e ?1

2

?x2???e（9）lim?x???x2?1???x

（10）limsinx?sin1cosx?lim?cos1 x?1x?1x?11

1?cosxx2

?lim?0（11）limx?0x?02sinxsinx

lim(1?x)tan?x

2（12）x?1?lim(1?x)x?1?12?lim?xx?1x? cos?sin222sin?x

sin3x?2sinx3? （13）lim2?54?sinxx?2

（14） lim

x?cotxx??

22??1

111????存在极限。 1?21?221?2n

111111?????????提示：单调且有上界， 2n2n1?21?2221?2211. 证明：数列xn?

11??112. 求极限limn?2?2???2?。 n??n??n?2?n?n???

提示：n?n11?n?n?1 ?n??????2?2222n??n?n??n?n??n??n?2?

2n

13. 求lim。 n??n!

2n2? 提示：n足够大时n!n


《大学数学习题一答案》出自：百味书屋
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