高中数学必修5知识点

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篇一：高中数学必修5知识点总结(精品)

必修5知识点总结

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有

abc

???2R． sin?sin?sinC

2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

abc，sin??，sinC?；③a:b:c?sin?:sin?:sinC； 2R2R2Ra?b?cabc

???④．

sin??sin??sinCsin?sin?sinC

②sin??

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

当无交点则B无解、 当有一个交点则B有一解、 当有两个交点则B有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： 当a<bsinA，则B无解

当bsinA<a≤b,则B有两解 当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：S???C?

111

bcsin??absinC?acsin?． 222

2

2

2

2

2

2

4、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?，

c2?a2?b2?2abcosC．

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

5、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?．

2bc2ab2ac

(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)

C的对边，b、6、如何判断三角形的形状：设a、则：①若a?b?c，则C?90； c是???C的角?、?、

②若a?b?c，则C?90；③若a?b?c，则C?90． 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,

1

2

2

2

222?

?222?

C、D两点， 并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。 本题解答过程略

附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1<an）． 13、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:an?1?an?d。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① an?an?1?d(n?2,d为常数)②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数

18、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若

O

O

O

O

b?

a?c

，则称b为a与c的等差中项． 2

19、若等差数列

?an?的首项是a，公差是d，则a

1

n

?a1??n?1?d．

；

an?a1

20、通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?

n?1

2

an?aman?a1

?1；⑤d?④n?

n?md

．

21、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an差数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an

?ap?aq；若?an?是等

?ap?aq．

n?a1?an?

Sn?

2

；②

22、等差数列的前n项和的公式：①

Sn?na1?

n?n?1?

d．③2

sn?a1?a2???an

*

23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则S2n

??

?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，

S奇a

?nS偶an?1

．

*

②若项数为2n?1n??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，

??

S奇n

（其中S奇?nan，?

S偶n?1

． S偶??n?1?an）

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an?1

?q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上an

的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

2

①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)

③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列.

25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，则称G为a与b的等比中项．（注：由G?ab不能得出a，G，b成等比，由a，G，b?G?ab） 26、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1qn?1．

??n?1?n?m

a?aqa?aq27、通项公式的变形：①n；②1；③qn?1mn

2

22

ann?man

q?；④． ?

ama1

*

28、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??），则am?an?ap?aq；若?an?是等比

3

数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则an

2

?ap?aq．

?na1?q?1?

?

29、等比数列?an?的前n项和的公式：①Sn??a1?1?qn?a?aq．②sn

?1n?q?1??

1?q?1?q

?s1?a1(n?1)

30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an??

s?s(n?2)n?1?n

?a1?a2???an

[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1?

?

?d?

?2?

?

d?d

?n →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若2?2

d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．附：几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法： 一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例题：1、等差数列分析：因为

d2d

n?(a1?)n利用二次函数的性质求n的值. 22

中，，则 .

是等差数列，所以是关于n的一次函数，

4

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，

所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。 例题：2、等差数列

中，

，前n项和为

，若

，n为何值时

最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，

是抛物线=上的离散点，根据题意，，

则因为欲求最大。

最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当

时，

例题：3递增数列，对任意正整数n，

递增得到：

恒成立，设

恒成立，求

恒成立，即

，则只需求出。

，因为是递的最大值即

分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然

有最大值

对一切

对于一切

，所以看成函数

的取值范围是：

构造二次函数，，它的定义域是

增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧

在

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前111

n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1?,3,...(2n?1)n,...

242

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

5

篇二：高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》

第一章：解三角形知识要点

一、正弦定理和余弦定理

abc

???2R 1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，，则有

sin?sin?sinC

(R为???C的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式：

①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； ②sin??

cab

，sin??，sinC?；

2R2R2R

③a:b:c?sin?:sin?:sinC； 3、三角形面积公式：S???C?

111

bcsin??absinC?acsin?． 222

2

2

2

b2?c2?a2

4、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，推论：cosA?

2bc

a2?c2?b2

222cosB?b?a?c?2accosB，推论：2ac

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosC，推论：cosC?

2ab

2

2

2

二、解三角形

处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解

1、三角形中的边角关系

（1）三角形内角和等于180°；

（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；

（4）正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC，其中R是△ABC外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bccosA=b2?c2?a2. （6）三角形的面积公式有:S=

1111

ah,S=absinC=bcsinA=acsinB , S=P(P?a)?(P?b)(P?c)其2222

中，h是BC边上高，P是半周长.

2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形

（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.

（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.

（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.

3、利用正、余弦定理判断三角形的形状

常用方法是：①化边为角；②化角为边.

4、三角形中的三角变换

（1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

sin

A?BCA?BC

?cos,cos?sin； 2222

（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r为三角形内切圆半径，p为周长之半

（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.

三、解三角形的应用

1.坡角和坡度：

坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即i?tan?.

2.俯角和仰角：

h

如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.

3. 方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为?.

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

4. 方向角：

相对于某一正方向的水平角.

5.视角：

由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角

??

第二章：数列知识要点

一、数列的概念

1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,?,an,?，简记为数列?an?，其中第一项a1也成为首项；an是数列的第n项，也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.

?

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

如果数列?an?的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成an?f?n?，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征：

一般地，一个数列?an?，

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即an?1?an，那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即an?1?an，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列?an?的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

二、等差数列

1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

即an?1?an?d（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，则通项公式为：

an?a1??n?1?d?am??n?m?d,?n、m?N??.

3、等差中项：

（1）若a、A、b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=

a?b

; 2

（2）若数列?an?为等差数列，则an,an?1,an?2成等差数列，即an?1是an与an?2的等差中项，且

an?1=

an?an?2a?an?2

；反之若数列?an?满足an?1=n，则数列?an?是等差数列. 22

篇三：高中数学必修1-5_知识点总汇+公式大全

数学必修1-5常用公式及结论

必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性

（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：子集：对任意x?A，都有 x?B，则称A是B的子集。记作A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作A?B 集合相等：若：A?B,B?A,则

?

A?B

3. 元素与集合的关系：属于? 不属于：? 空集：?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为 A?B

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为A?B

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，

记为CUA

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：N 整数集：Z有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性

1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性

1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2

① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=>f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=>f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减

三、二次函数y = ax2 +bx + c（a?0）的性质

*n

n

n

?b4ac?b2?b4ac?b2

1、顶点坐标公式：???2a,4a??， 对称轴：x??2a，最大（小）值：4a

??

2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)两根式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则：

（1）a m ? a n = a m + n ，（2）a?a?a

n

m

n

m?n

，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n ? b n

n

?11an?a??nn0mma?（5） ???n（6）a = 1 ( a≠0)（7） （8）（9） a?aa?nnabb??a

n

2、根式的性质

（1

）n?a.

（2）当n

?a； 当n

?|a|??

4、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：

（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞)（2）图象过定点（0，1）

5.指数式与对数式的互化： logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). 五、对数与对数函数 1对数的运算法则：

（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a

log a N

?a,a?0

.

??a,a?0

= N

（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (

M

) = log a M -- log a N N

（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =

n

logbN

logba

（10）推论 logamb?（11）log a N =

n

logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). m

1

（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A

logNa

（其中 e = 2.71828?） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a≠1)的性质： （1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R（2）图象过定点（1，0）

六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .

例如： y = x y?

2

x?x y?

12

1

?x?1 x

七.图象平移：若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位， 得到函数y?f(x?a)?b的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N1(?p)九、函数的零点：1.定义：对于y?f(x)，把使f(x)?0的X叫y?f(x)的零点。即

x

.

y?f(x)的图象与X轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图象是连续不断的一条 曲线，并有f(a)?f(b)?0，那么y?f(x)在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?， 使得f(c)?0，这个C就是零点。

3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度?）

（1）确定区间?a,b?，验证f(a)?f(b)?0;(2)求?a,b?的中点x1?

a?b

2

（3）计算f(x1)①若f(x1)?0，则x1就是零点；②若f(a)?f(x1)?0，则零点

x0??a,x1? ③若f(x1)?f(b)?0，则零点x0??x1,b?；

（4）判断是否达到精确度?，若a?b??，则零点为a或b或?a,b?内任一值。否 则重复（2）到（4）

必修2：一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα=

y2?y1

（α ≠ 90°，x 1≠x 2）

x2?x1

2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k存在； （3）两点式

y?y1x?x1xy

（x1?x2,y1?y2） ；4）截距式 ??1（a?0,b?0） ?

aby2?y1x2?x1

（5）一般式Ax?By?c?0(A,B不同时为0） 3、两条直线的位置关系：

4、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0的距离：d?

x1?x22?y1?y22

2

2

Ax0?By0?CA?B

7、圆的方程

8.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种若d?

则 d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内. 9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)

222

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种:

d?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.

10.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d

d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.

11.圆的切线方程

(1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

2

2

D(x0?x)E(y0?y)

??F?0. 22

D(x0?x)E(y0?y)

??F?0表示过两个切点当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?

22

x0x?y0y?的切点弦方程．


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